学机器学习怎么可以不知道最小二乘法

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起源

起源:最小二乘法源于天文学和大地测量学领域。是是是因为你这俩 一有一个多领域对精度的高要求而被造出。

130001年,意大利天文学家朱塞普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。进行了40天的跟踪观测后,随后是是因为谷神星运行到太阳手中,失去了具体位置信息。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据现在开始寻找谷神星,因此根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没办法 结果。时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里希·奥伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。高斯使用的最小二乘法的妙招发表于130009年他的著作《天体运动论》中,你这俩 高斯正是著名数学家 卡尔·弗里德里希·高斯 ,没错随后他们都 大学得 认识的那个高斯。

机器学习本质确实随后求最优解的过程,最小二乘法是回归算法中求最优解的妙招之一,还有一一有一个多是梯度下降法,过完会讲~。

思考

他们都 在正式讲最小二乘法时候,读者大大们还都完会 想下下面你这俩 难题临近中秋,小明让你个人做月饼,现在已知这俩 规格月饼所需的面粉重量如下:

月饼重量(g)面粉重量(g)
300 20
3000 81
3000 110
190 90
220 13000

现在小明想做规格为140g的月饼,请问他需要哪几块克月饼现在读者大大们根据平时经验,还都完会 思考下为何会 求。九年义务教育我要看见你这俩 题目就条件反射列方程求未知数,我没得乎 读者大大们是完会也是那我 ~

原理

他们都 从那我 深度图来看你这俩 难题他们都 将这有一个月饼用坐标系标出来,如下图 因此他们都 先用画出根小接近这有一个点的线,假设线性关系为

是完会假若他们都 找出根小最接近这有一个点的线就还都完会 了,那我 算出来的值是最接近真实值的。

由图还都完会 得出,需要这条线跟你这俩 有一个点的误差最小, 每个点跟线的误差如下所示

是是是因为误差是长度,一点一点要算绝对值,计算起来不方便,用平方来替代

最后将所有误差值累加得出

最小二乘法呼之欲出,这随后最小二乘法的原理了,即让误差的平方总和尽是是是因为小。从求根小最接近这有一个点的线的难题转化成求最小化误差的难题。

求解

没办法 为何会 求呢,继续以里边的为例子。这是一一有一个多二次函数。总误差的平方:

根据多元微积分,当

你这俩 时候 ϵ 取得最小值,求的a,b的解为

a,b求出后,这条最接近的线也就出来了

进一步现在假设这条线是 二次函数,结果怎么才能 才能

他们都 还都完会 选用不同的 f(x),根据最小二乘法得出不一样的拟合函数。不过选用f(x)还是非要太随意,不然要么不准,要么容易过拟合。代码实现整个思路如下

目标函数:代入生成的x,生成对应的y

def real_func(x):
  return np.sin(2*np.pi*x)

随机生成10个x进行实验:

x = np.linspace(0, 1, 10)

构造多项式拟合函数:

#多项式
def fit_func(p,x):
    """
    eg:p = np.poly1d([2,3,5,7])

   print(p)==>>2x3 + 3x2 + 5x + 7
    """
    f = np.poly1d(p)
    return f(x)

计算误差:

#残差
def residuals_func(p, x, y):
    ret = fit_func(p, x) - y
    return ret

leastsq 是 scipy 库 进行最小二乘法计算的函数,也随后通过误差函数以及数据点进行他们都 前面讲的对参数进行求导操作,最后得出他们都 拟合出来的函数。

def fitting(M=0):
    """
    n 为 多项式的次数
    """    
    # 随机初始化多项式参数
    #numpy.random.rand(d0)的随机样本存在[0, 1)之间。d0表示返回哪几块个
    p_init = np.random.rand(M+1) #生成M+一一有一个多随机数的列表
    # 最小二乘法
    p_lsq = leastsq(residuals_func, p_init, args=(x, y)) # 一一有一个多参数:误差函数、函数参数列表、数据点
    print('Fitting Parameters:', p_lsq[0])
    
    # 可视化
    plt.plot(x_points, real_func(x_points), label='real')
    plt.plot(x_points, fit_func(p_lsq[0], x_points), label='fitted curve')
    plt.plot(x, y, 'bo', label='noise')
    plt.legend()
    return p_lsq
    
    # M=0
    p_lsq = fitting(M=0)

他们都 从一次函数依次增加项式,找到最为宜 的拟合曲线。



到9次的时候,是是是因为全部拟合哪些地方地方点了 。

总结

他们都 还都完会 看出,最小二乘法的原理确实非常简单,运用起来也简洁,应用广泛。因此它完会一定的局限性,比如是是是因为拟合函数完会线性的,就无法用最小二乘法了。还有一点,本文讲的最小二乘法是最简洁的,因此它对噪声的容忍度很低,容易造成过拟合,一点一点还需要换成正则化,你这俩 有兴趣的读者还都完会 了解下。最小二乘法运用误差深度图求最优解的思路是他们都 机器学习中一一有一个多很经典也很常用的思维方向之一,为学习机器学习打下一一有一个多好基础。这也是把它倒入他们都 的机器学习系列最现在开始的是是因为。

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本文首发微信公众号“哈尔的数据城堡”.